Лекція № Робота з векторами й матрицями icon

Лекція № Робота з векторами й матрицями



НазваниеЛекція № Робота з векторами й матрицями
Дата конвертации19.01.2013
Размер102.41 Kb.
ТипЛекція
скачать >>>

Лекція № 3.

Робота з векторами й матрицями.


Для того, щоб почати роботу з векторами й матрицями в середовищі MathCad, необхідно на панелі математичних інструментів «Математика» активізувати панель векторних і матричних операцій «Матриці» (мал. 1).




Малюнок 1.

Далі, більш докладно розглянемо панель векторних і матричних операцій «Матриці» (мал. 2).







Малюнок 2.


  1. ^

    Створити матрицю або вектор.


  2. Вставка нижнього індексу матриці.

  3. Інверсія матриці (одержання зворотної матриці).

  4. Обчислення визначника матриці.

  5. Задати вектор.

  6. Стовпець матриці.

  7. Транспонування матриці.

  8. Задати діапазон дискретної величини.

  9. Скалярний добуток векторів.

  10. Векторний добуток.

  11. Сума елементів вектора.

  12. Вставка зображення.


^ СТВОРЕННЯ ВЕКТОРА АБО МАТРИЦІ.

Найпростіший спосіб створення масиву чисел складається в створенні масиву з порожніх полів й їхньому наступному заповненні.

Для цього:

  • Виберіть Матриці з меню Математика (або натисніть Ctrl+M), щоб викликати діалогове вікно.

  • Визначите в ньому потрібна кількість рядків і стовпців.

  • Натисніть "OK" , щоб створити масив порожніх полів.

  • Клацніть на поле, щоб виділити його, потім уведіть необхідне значення. Для переміщення між полями можна також використати курсор.

При визначенні більших масивів, для кожного елемента якого існує формула, через яку він виражається, зручніше використати дискретні аргументи.

Приклад:

i := 0 .. 9 j := 0 .. 9

Xi,j := i2+j/2


Якщо масив має менше десяти рядків і стовпців, Mathcad відображає його у вигляді матриці або вектора.

Якщо масив має більше дев'яти рядків або стовпців, Mathcad за замовчуванням відображає його як таблицю висновку зі смугами прокручування.

Можна наказати Mathcad виводити у вигляді матриць і результати, чиї розміри перевищують зазначені вище. Для цього:

  • Двічі клацніть на таблиці висновку.

  • З'явиться діалогове вікно Формат результату.

  • Потім, як показано на малюнку 3, у Настроюваннях показу вибираємо Стиль матриці\Matrix.

  • Натискаємо "OK".


/ Малюнок 3.


^ ОПЕРАТОРИ, ПЕВНІ ДЛЯ ВЕКТОРІВ І МАТРИЦЬ.


  1. Додавання

  2. Векторний добуток

  3. Визначник

  4. Скалярний добуток

  5. Інверсія матриці

  6. Ступеня матриць

  7. Модуль

  8. Множення

  9. Нижній індекс (vector)

  10. Нижній індекс (matrix)

  11. Вирахування

  12. Підсумовування елементів

  13. Верхній індекс

  14. Транспонування

  15. Оператор векторизации



Розглянемо кожен оператор більш докладно.

1. Додавання.

А + B

Складає елементи матриці А с відповідними елементами матриці B.

А + x

Додає x до кожного елемента матриці А.

Причому:

  • А й B масиви однакових розмірів;

  • x будь-яка скалярна величина.



2. Векторний добуток.



Повертає векторний добуток векторів u й v.

Причому:

Обидва вектори u й v повинні мати по трьох елемента.

є вектор з наступними властивостями:

  • Він ортогонален площини, у якій лежать вектори u й v, а його напрямок визначається правилом штопора.

  • Його модуль дорівнює | u || v |sin( ) де є кут між u й v.



3. Визначник.

| M | Повертає визначник квадратної матриці.

4. Скалярний добуток.



Повертає скалярний добуток векторів u й v.

Причому вектори u й v повинні мати однакові розміри.

Скалярний добуток є число, рівне сумі добутків всіх відповідних елементів у векторах u й v.

Скалярний добуток має наступні властивості:

  • =| u || v |cos( ) де є кут між u й v.

  • Коли u й v перпендикулярні, їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

  • Скалярний добуток вектора на себе рівняється квадрату його модуля.


5. Інверсія матриці.

М-1

Повертає зворотну матрицю матриці М. Якщо матриця M необоротна, Mathcad видає повідомлення про помилку.

Причому M повинна бути невырожденной квадратною матрицею.


6. Ступеня матриць

Мn

Залежно від значення n, повертає одне з наступні:

  • Якщо n = 0, повертає одиничну матрицю одного розміру з M.

  • Якщо n = 1, повертає саму матрицю M.

  • Якщо n = -1 і матриця М оборотна, повертає матрицю, зворотну до M.

  • Якщо n є позитивне ціле, множить M на себе n раз.

  • Якщо n є негативне ціле, множить зворотну до M матрицю на себе n раз.

Причому:

  • M квадратна матриця.

  • n ціле число.


7. Модуль.

| v |

Повертає модуль вектора v. Він визначається як квадратний корінь із суми квадратів елементів вектора v.


8. Множення.



Повертає матричний добуток А и B.

Причому:

  • А є матриця розмірів m x n.

  • B є матриця розмірів n x p.


9. Нижній індекс (vector).

Vn

Повертає n-ный елемент вектора v. Якщо v не має n-ного елемента, Mathcad видає повідомлення про те, що «індекс поза границями».

Варто помітити, що в Mathcad усе вектора й масиви за замовчуванням нумеруються починаючи з 0, а не з 1. Наприклад, для вектора з 10 елементами n може приймати значення від 0 до 9.


10. Нижній індекс (matrix).

M m, n

Повертає елемент у рядку з номером m і стовпці з номером n матриці M. Якщо в матриці M немає такого елемента, Mathcad видає повідомлення про те, що «індекс поза границями».


11. Вирахування.

А - B

Віднімає елементи B з відповідних елементів А.

А й B повинні мати однакові розміри.

А - x

Якщо А є матриця, а x скаляр, то А - x є матриця, отриманий вирахуванням x з кожного елемента А.


12. Підсумовування елементів.

v

Повертає суму всіх елементів вектора v.


13. Верхній індекс.

М

Повертає n-ный стовпець масиву M. Якщо M не має n-ного стовпця, Mathcad видає повідомлення про те, що «індекс поза границями».


14. Транспонування.

МТ

Повертає масив розмірів n x m, рядка якого складаються з елементів, що перебувають у стовпці з відповідним номером вихідного масиву розмірів m x n.


15. Оператор векторизации.



Пропонує виконувати деяку операцію над кожним елементом масиву.

Приклад:

Щоб виконати матричне множення матриць А и B, варто записати



А щоб помножити кожен елемент А на відповідний елемент B, варто записати




ФУНКЦІЇ ДЛЯ РОБОТИ З ВЕКТОРАМИ Й МАТРИЦЯМИ.
^

Об'єднання матриць.


augment(A,B)

Повертає масив, утворений розміщенням B праворуч від A.


stack(A,B)

Повертає масив, утворений розміщенням A зверху B.

Причому:

  • A й B повинні бути масивами.

  • A й B повинні мати однакова кількість рядків для використання з функцією augment й однакова кількість стовпців для використання з stack.
^

Виділення подматриц.


submatrix(A,ir,jr,ic,jc)

Повертає подмассив, що складається із всіх елементів, які втримуються в рядках з ir по jr і стовпцях з ic по jc масиву A.

Причому:

  • A є масив.

  • ir й jr є номера найпершого й самого останньої рядків, що витягають.

  • ic й jc є номера найпершого й самого останнього стовпців, що витягають.
^

Визначення розмірів матриці.


rows(A)

Повертає число рядків в A.


cols(A)

Повертає число стовпців в A.


length(v)

Повертає число елементів у векторі v.


last(v)

Повертає індекс останнього елемента у векторі v.

^

Визначення одиничної матриці.


identity(n)

Повертає одиничну матрицю розмірів n x n (матрицю, на діагоналі якої перебувають 1, а всі інші елементи рівні 0).

Причому n повинне бути натуральним.

^

Діапазон значень елементів матриці.


max(A)

Повертає найбільший елемент в A.


min(A)

Повертає найменший елемент в A.


Причому A може бути вектором або матрицею.

Якщо A має комплексні елементи,

  • max(A) повертає найбільше значення речовинної частини плюс мниму одиницю, помножену на найбільше значення мнимої частини.

  • min(A) повертає найменше значення речовинної частини плюс мниму одиницю, помножену на найменше значення мнимої частини.



^

Спеціальні характеристики матриці.


tr(M)

Повертає суму елементів на діагоналі квадратної матриці M.


РІШЕННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ЗАСОБАМИ MATHCAD.

Нехай дана система лінійних рівнянь виду:



Дану систему лінійних рівнянь можна представити у вигляді матриці виду:

M=

Для того, щоб вирішити дану систему засобами MathCad, необхідно з матриці М виділити подматрицу коефіцієнтів при невідомих А и вектор b вільних членів.

Т.е. звідси маємо

Ax=b

де х - вектор невідомих.

В MathCad зарезервована функція по знаходженню корінь системи лінійних рівнянь.


lsolve(A,b)

Повертає вектор рішень системи лінійних рівнянь Ax = b.


^ Приклад рішення системи лінійних рівнянь:

Нехай дана система лінійних рівнянь




Становимо матрицю даної системи й вирішуємо




ОПЕРАТОРИ^ ДЛЯ РОБОТИ З ВЕКТОРАМИ Й МАТРИЦЯМИ.


А + B

Складає елементи матриці А с відповідними елементами матриці B (А и B масиви однакових розмірів)

А + x

Додає x до кожного елемента матриці А (x будь-яка скалярна величина)



Повертає векторний добуток векторів u й v (Обидва вектори u й v повинні мати по трьох елемента).

Результатом є вектор з наступними властивостями:

  • Він ортогонален площини, у якій лежать вектори u й v, а його напрямок визначається правилом штопора.

Його модуль дорівнює | u || v |sin( ) де є кут між u й v.

| M |

Повертає визначник квадратної матриці.



Повертає скалярний добуток векторів u й v ( вектори u й v повинні мати однакові розміри).

Скалярний добуток є число, рівне сумі добутків всіх відповідних елементів у векторах u й v, має властивості:

  • =| u || v |cos( ) де є кут між u й v.

  • Коли u й v перпендикулярні, їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

Скалярний добуток вектора на себе рівняється квадрату його модуля

М-1


Повертає зворотну матрицю матриці ^ М. Якщо матриця M необоротна, Mathcad видає повідомлення про помилку.

Причому M повинна бути невырожденной квадратною матрицею




Мn


Залежно від значення n, повертає одне з наступні:

  • Якщо n = 0, повертає одиничну матрицю одного розміру з M.

  • Якщо n = 1, повертає саму матрицю M.

  • Якщо n = -1 і матриця М оборотна, повертає матрицю, зворотну до M.

  • Якщо n є позитивне ціле, множить M на себе n раз.

  • Якщо n є негативне ціле, множить зворотну до M матрицю на себе n раз.

Причому:

M - квадратна матриця, n - ціле число.

| v |

Повертає модуль вектора v. Він визначається як квадратний корінь із суми квадратів елементів вектора v.



Повертає матричний добуток А и B.

Vn


Повертає n-ный елемент вектора v. Якщо v не має n-ного елемента, Mathcad видає повідомлення про те, що «індекс поза границями».

Варто помітити, що в Mathcad усе вектора й масиви за замовчуванням нумеруються починаючи з 0, а не з 1.

M m, n


Повертає елемент у рядку з номером m і стовпці з номером n матриці M. Якщо в матриці M немає такого елемента, Mathcad видає повідомлення про те, що «індекс поза границями».

А - B

Віднімає елементи B з відповідних елементів А (А и B повинні мати однакові розміри).

v

Повертає суму всіх елементів вектора v.

М


Повертає n-ный стовпець масиву M. Якщо M не має n-ного стовпця, Mathcad видає повідомлення про те, що «індекс поза границями».

МТ


Повертає масив розмірів n x m, рядка якого складаються з елементів, що перебувають у стовпці з відповідним номером вихідного масиву розмірів m x n.



Пропонує виконувати деяку операцію над кожним елементом масиву.

Приклад:

Щоб виконати матричне множення матриць А и B, варто записати



А щоб помножити кожен елемент А на відповідний елемент B, варто записати





ФУНКЦІЇ ДЛЯ РОБОТИ З ВЕКТОРАМИ Й МАТРИЦЯМИ.


augment(A,B)

^

Об'єднання матриць.


Повертає масив, утворений розміщенням B праворуч від A (A й B повинні мати однакова кількість рядків)

stack(A,B)


Повертає масив, утворений розміщенням A зверху B (A й B повинні мати однакова кількість стовпців).

submatrix(A,ir,jr,ic,jc)

^

Виділення подматриц.


Повертає подмассив, що складається із всіх елементів, які втримуються в рядках з ir по jr і стовпцях з ic по jc масиву A.

rows(A)

Повертає число рядків в A.

cols(A)

Повертає число стовпців в

length(v)

Повертає число елементів у векторі v.

last(v)

Повертає індекс останнього елемента у векторі v

identity(n)

Повертає одиничну матрицю розмірів n x n (матрицю, на діагоналі якої перебувають 1, а всі інші елементи рівні 0).

max(A)

Повертає найбільший елемент в A.

Якщо A має комплексні елементи,

- max(A) повертає найбільше значення речовинної частини плюс мниму одиницю, помножену на найбільше значення мнимої частини.

min (A

Повертає найменший елемент в A

Якщо A має комплексні елементи,

- min(A) повертає найменше значення речовинної частини плюс мниму одиницю, помножену на найменше значення мнимої частини.

tr(M)

Повертає суму елементів на діагоналі квадратної матриці M.









Похожие:

Лекція № Робота з векторами й матрицями iconЛабораторна робота №3 Тема: Робота з векторами І матрицями в середовищі Mathcad. Мета
Мета: ознайомитися з системою Mathcad 2000 pro, оволодіти основними навичками праці з системою, навчитися проводити елементарні обчислення...
Лекція № Робота з векторами й матрицями iconЛекція особливості роботи соціального педагога з клієнтами План
Практична соціальна робота / За ред. П. Картер, Т. Джеффса, М. К. Сміта: Пер з англ. — К. — Амстердам: Асоціація психіатрів України,...
Лекція № Робота з векторами й матрицями icon2 Лекція «Профілактика віл/сніду: роль родини в цьому питанні»
Лекція «Використання сімейних традицій у формуванні моральних і духовних якостей учнів»
Лекція № Робота з векторами й матрицями iconОрганізаційна робота
Методична робота(діяльність за профілем класу, робота по збереженню життя та здоров’я учнів, вивчення учнів, класного колективу,...
Лекція № Робота з векторами й матрицями iconВ. Дорофєєв “ ” 2013 р. Розклад занять архітектурно-художнього інституту на 1 семестр 2013-2014 навчального року
Типологія будівель І споруд лекція 10 год плахотна а202 + Основи містобудування лекція 6 год з 19. 11 Єксарьов а202
Лекція № Робота з векторами й матрицями iconЛекція : Організація транспортного і складського господарства. План. Організація транспортного і складського обслуговування в-ва
Безперебійна і добре організована робота транспортного господарства підприємства відіграє важливу роль у високопродуктивному функціонуванні...
Лекція № Робота з векторами й матрицями iconДокументы
...
Лекція № Робота з векторами й матрицями iconУрок 4 Гайдук І. В., учитель української мови та літератури Полтавської гімназії №6
Методи і прийоми роботи: розповідь вчителя,бесіда,проблемні запитання,робота з додатковим матеріалом, самостійна робота, словникова...
Лекція № Робота з векторами й матрицями iconЛекція нормативно-правові акти, що регулюють роботу спеціалістів в соціально-педагогічній сфері план Поняття охорони праці, характеристики. Основні закони та нормативні акти. Аналіз Закону України «Про охорону праці»
Лекція нормативно-правові акти, що регулюють роботу спеціалістів в соціально-педагогічній сфері
Лекція № Робота з векторами й матрицями iconДипломна робота на тему: Юридична
Дана робота складається із сторінок, у тексті зустрічаються скорочення типу зед, кк
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©gua.convdocs.org 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов