Лекція №4 Одне рівняння з одним невідомим Розглянемо одне алгебраїчне рівняння з одним невідомим х f(x)=0, (1) наприклад, sin(x)=0 icon

Лекція №4 Одне рівняння з одним невідомим Розглянемо одне алгебраїчне рівняння з одним невідомим х f(x)=0, (1) наприклад, sin(x)=0



НазваниеЛекція №4 Одне рівняння з одним невідомим Розглянемо одне алгебраїчне рівняння з одним невідомим х f(x)=0, (1) наприклад, sin(x)=0
Дата конвертации19.01.2013
Размер44.38 Kb.
ТипЛекція
скачать >>>

Лекція № 4

Одне рівняння з одним невідомим

Розглянемо одне алгебраїчне рівняння з одним невідомим х.

f(x)=0, (1)

наприклад,

sin(x)=0.

Для рішення таких рівнянь Mathcad має убудовану функцію root, що, залежно від типу задачі, може включати або два, або чотири аргументи й, відповідно, працює трохи по-різному.

  • root(f(х),х);

  • root(f(х),х,а,b);

    • f (х) - скалярна функція, що визначає рівняння (1);

    • х - скалярна змінна, щодо якої вирішується рівняння;

    • а,ь - границі інтервалу, усередині якого відбувається пошук кореня.

Перший тип функції root вимагає додаткового завдання початкового значення (guess value) змінної х. Для цього потрібно просто попередньо привласнити х деяке число. Пошук кореня буде вироблятися поблизу цього числа. Таким чином, присвоєння початкового значення вимагає апріорної інформації про зразкову локалізацію кореня.

Приведемо приклад рішення дуже простого рівняння sin(x)=o, коріння якого відомі заздалегідь.

Листинг 8.1. Пошук кореня нелінійного алгебраїчного рівняння

/




Рис. 8.1. Графічне рішення рівняння sin(x)=0

Графік функції f (x)=sin(x) і положення знайденого кореня показані на мал. 8.1. Зверніть увагу, що, хоча рівняння має нескінченна кількість корінь xn=npi (n=0,±1,±2,...), Mathcad знаходить (із заданою точністю) тільки один з них, х0, що лежить найбільше близько до х=0.5. Якщо задати інше початкове значення, наприклад х=3, то рішенням буде інший корінь рівняння х1=pi і т.д. Таким чином, для пошуку кореня засобами Mathcad потрібно його попередня локалізація. Це пов'язане з особливостями обраного чисельного методу, що називається методом січних і полягає в наступному (мал. 8.2):

Початкове наближення приймається за 0-і наближення до кореня: х0=х.

  • Вибирається крок h=TOLх і визначається перше наближення до кореня x1=x0+h. Якщо х=0, то приймається h=TOL.

  • Через ці дві крапки проводиться січна - пряма лінія, що перетинає вісь х у деякій крапці х2. Ця крапка приймається за друге наближення.

  • Нова січна проводиться через першу й другу крапки, тим самим визначаючи третє наближення, і т.д.

  • Якщо на якому-небудь кроці виявляється, що рівняння виконане, тобто |If (x) |



Рис. 8.2. Ілюстрація методу січних

Результат, показаний на мал. 8.2, отриманий для погрішності обчислень, який з метою ілюстративності попередньо привласнене значення TOL=0.5. Тому для пошуку кореня з такою невисокою точністю виявилося досить однієї ітерації. В обчисленнях, наведених у листинге 8.1, погрішність TOL=0.001 була встановлена за замовчуванням, і рішення, видане чисельним методом, лежало набагато ближче до щирого положення кореня х=0. Іншими словами, чим менше константа TOL, тим ближче до нуля буде значення f (x) у знайденому корені, але тем більше часу буде витрачено обчислювальним процесором Mathcad на його пошук.

Відповідний приклад можна знайти у Швидких шпаргалках, на сторінці Ресурсів Mathcad. Він розташований у розділі "Solving Equations" (Рішення рівнянь) і називається "Effects of TOL on Solving Equations" (Вплив константи TOL на рішення рівнянь).

Якщо рівняння нерозв'язне, то при спробі знайти його корінь буде видане повідомлення про помилку. Крім того, до помилки або видачі неправильного кореня може привести й спроба застосувати метод січних в області локального максимуму або мінімуму f (х). У цьому випадку січна може мати напрямок, близьке до горизонтального, виводячи крапку наступного наближення далеко від передбачуваного положення кореня. Для рішення таких рівнянь краще застосовувати іншу убудовану функцію Minerr (див. разд. 8.5). Аналогічні проблеми можуть виникнути, якщо початкове наближення обране занадто далеко від дійсного рішення або f (х) має особливості типу нескінченності.

Для рішення рівняння з одним невідомим застосовні й градиентные методи, що ставляться в Mathcad до систем рівнянь. Інформація про це наведено в разд. 8.3.

Іноді зручніше задавати не початкове наближення до кореня, а інтервал [а,b], усередині якого корінь свідомо перебуває. У цьому випадку варто використати функцію root із чотирма аргументами, а привласнювати початкове значення х не потрібно, як показано в листинге 8.2. Пошук кореня буде здійснений у проміжку між а й ь альтернативним чисельним методом (Риддера або Брента).

Листинг 8.2. Пошук корінь алгебраїчного рівняння заданому інтервалі



Зверніть увагу, що явний вид функції f (х) може бути визначений безпосередньо в тілі функції root.

Коли root маєє чоотири аргументиів, варто пам'ятатити про дв її особливості:

  • усередині інтервалу [а,b] не повинне перебувати більше одного кореня, інакше буде знайдений один з них, заздалегідь невідомо, який саме;

  • значення f (а) і f (b) повинні мати різний знак, інакше буде видане повідомлення про помилку.

Якщо рівняння не має дійсних корінь, але має мнимі, то їх також можна знайти. У листинге 8.3 наведений приклад, у якому рівняння x2+i=0, що має два чисто мнимих корені, вирішується два рази з різними початковими значеннями. При завданні початкового значення 0.5 (перший рядок листинга) чисельний метод відшукує перший корінь (негативну мниму одиницю -i), а при початковому значенні -0.5 (третій рядок листинга) перебуває й другий корінь (i).

Листинг 8.3. Пошук мнимого кореня




Для рішення цього рівняння другий вид функції root (із чотирма, а не із двома аргументами) не застосуємо, оскільки f (х) є положительноопределенной, і вказати інтервал, на границях якого вона мала б різний знак, неможливо.

Залишається додати, що f (х) може бути функцією не тільки х, а будь-якої кількості аргументів. Саме тому в самій функції root необхідно визначити, щодо якого з аргументів варто вирішити рівняння. Ця можливість проілюстрована листингом 8.4 на прикладі функції двох змінних f (х,у) =х2-y2+3. У ньому спочатку вирішується рівняння f(x,0)=0 щодо змінної х, а потім - інше рівняння f (1,у) =0 щодо змінної в.

Листинг 8.4. Пошук кореня рівняння, заданого функцією двох змінних



У першому рядку листинга визначається функція f (x,y), у другі й третьої - значення, для яких буде вироблятися рішення рівняння по в и х, відповідно. У четвертому рядку вирішене рівняння f (x,0)=0, а в останньої -рівняння f (1,y)=0. Не забувайте при чисельному рішенні рівнянь щодо однієї зі змінних попередньо визначити значення інших змінних. Інакше спроба обчислити рівняння приведе до появи помилки "This variable or function is not defined above", у цьому випадку мовець про те, що інша змінна раніше не визначена. Звичайно, можна вказати значення інших змінних безпосередньо усередині функції root, безперешкодно видаливши, наприклад, другу й третю рядки листинга 8.4 й увівши його останні рядки у вигляді root(f (x,0) ,х)= й root(f (1,у) ,у)=, відповідно.

Для того щоб відшукати залежність корінь рівняння, обчислених по однієї змінної, від інших змінних, розроблені спеціальні ефективні алгоритми. Про одній з можливостей читайте в разд. 8.8.



Похожие:

Лекція №4 Одне рівняння з одним невідомим Розглянемо одне алгебраїчне рівняння з одним невідомим х f(x)=0, (1) наприклад, sin(x)=0 iconVii. Інтегральні рівняння Рівень 1
Знайти наближений розв’язок інтегрального рівняння на відрізку [0,1] з кроком 0,1 за допомогою квадратурного методу. Для апроксимації...
Лекція №4 Одне рівняння з одним невідомим Розглянемо одне алгебраїчне рівняння з одним невідомим х f(x)=0, (1) наприклад, sin(x)=0 iconVii різницеві схеми з адача 1
Побудувати різницеве рівняння, що апроксимує диференціальне рівняння на сітці, де
Лекція №4 Одне рівняння з одним невідомим Розглянемо одне алгебраїчне рівняння з одним невідомим х f(x)=0, (1) наприклад, sin(x)=0 iconЗвіт по роботі з Чисельних методів №1 Студента II курсу Лазара Юрія Завдання з точністю e 0001 знайти корені рівняння Математичний блок
Суть методу полягає в тому що, знаючи приблизно проміжок на якому знаходяться корені рівняння
Лекція №4 Одне рівняння з одним невідомим Розглянемо одне алгебраїчне рівняння з одним невідомим х f(x)=0, (1) наприклад, sin(x)=0 iconРеферат з журналістики Роль змі в інтеграційних процесах України Одним із потенційних чинників сприяння розвитку
Ці пошуки ідентичності у швидкозмінному середовищі надають можливість партнерам брати активну участь у визначенні цілей та пріоритетів...
Лекція №4 Одне рівняння з одним невідомим Розглянемо одне алгебраїчне рівняння з одним невідомим х f(x)=0, (1) наприклад, sin(x)=0 iconЗавдання: запрограмувати розв`язок дифференціальних рівнянь методом Адамса
Дифференціальні рівняння являються основним типом рівнянь в реальних задачах. Хоча в деяких випадках їх можна розв`язати аналітично,...
Лекція №4 Одне рівняння з одним невідомим Розглянемо одне алгебраїчне рівняння з одним невідомим х f(x)=0, (1) наприклад, sin(x)=0 iconЗаочна олімпіада Мудрамакітра – 2010
Валерійович порахував кількість фігур, які стоять на кожній горизонталі. Чи могло виявитися так, що ні одне з чисел, які одержав...
Лекція №4 Одне рівняння з одним невідомим Розглянемо одне алгебраїчне рівняння з одним невідомим х f(x)=0, (1) наприклад, sin(x)=0 iconМодуль Варіант І розвиток математичних ідей в Стародавньому Китаї. Історія комбінаторики. Проблема розв'язання в радикалах рівняння вище 4-степеня.
Проблема розв'язання в радикалах рівняння вище 4-степеня. Теорема Абеля і теорема Галуа
Лекція №4 Одне рівняння з одним невідомим Розглянемо одне алгебраїчне рівняння з одним невідомим х f(x)=0, (1) наприклад, sin(x)=0 iconЗвіт до задачі №54 студента 2-го курсу 3-ї групи Сіверського Тараса. Умова задачі. Обчислити значення функції (х) на відрізку хЄ[2; 4] з кроком h 1, яке задовільняє рівняння:  (х)=1/3 ln(х+ 2 (х))+1
Обчислити значення функції (х) на відрізку хЄ[2; 4] з кроком h 1, яке задовільняє рівняння
Лекція №4 Одне рівняння з одним невідомим Розглянемо одне алгебраїчне рівняння з одним невідомим х f(x)=0, (1) наприклад, sin(x)=0 iconІ. Тілесна єдність Тілесна єдність
Чи ви не читали, що Той, Хто створив споконвіку людей, створив їх чоловіком І жінкою? І сказав: Покине тому чоловік батька й матір,...
Лекція №4 Одне рівняння з одним невідомим Розглянемо одне алгебраїчне рівняння з одним невідомим х f(x)=0, (1) наприклад, sin(x)=0 iconЛекція № Параболічні й гіперболічні рівняння у новій версії Mathcad 11 розроблювачі вперше застосували убудовану функцію pdesolve для рішення рівнянь у частинних похідних
Ця функція застосовується в рамках обчислювального блоку, що починається ключовим словом Given і придатна для рішення різних гіперболічних...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©gua.convdocs.org 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов