Лекція № Параболічні й гіперболічні рівняння у новій версії Mathcad 11 розроблювачі вперше застосували убудовану функцію pdesolve для рішення рівнянь у частинних похідних icon

Лекція № Параболічні й гіперболічні рівняння у новій версії Mathcad 11 розроблювачі вперше застосували убудовану функцію pdesolve для рішення рівнянь у частинних похідних



НазваниеЛекція № Параболічні й гіперболічні рівняння у новій версії Mathcad 11 розроблювачі вперше застосували убудовану функцію pdesolve для рішення рівнянь у частинних похідних
Дата конвертации19.01.2013
Размер34.22 Kb.
ТипЛекція
скачать >>>

Лекція № 5.

Параболічні й гіперболічні рівняння

У новій версії Mathcad 11 розроблювачі вперше застосували убудовану функцію pdesolve для рішення рівнянь у частинних похідних, відмінно усвідомлюючи значимість цих задач для сучасного дослідника й інженера. Ця функція застосовується в рамках обчислювального блоку, що починається ключовим словом Given і придатна для рішення різних гіперболічних і параболічних рівнянь.

Убудована функція для рішення одномірного рівняння (або системи рівнянь) у частинних похідних (того, котре визначить користувач у рамках обчислювального блоку Given), що залежить від часу t і просторової координати х, має цілий набір різних аргументів і працює в такий спосіб.

  • Pdesolve(u, x, xrange, t, trange, [xpts] , [tpts])) - повертає скалярну (для єдиного вихідного рівняння) або векторну (для системи рівнянь) функцію двох аргументів (x,t), що є рішенням диференціального рівняння (або системи рівнянь) у частинних похідних. Результуюча функція виходить інтерполяцією сіткової функції, що обчислює відповідно до різницевої схеми.

    • u - явно заданий вектор імен функцій (без вказівки імен аргументів), підметів обчисленню. Ці функції, а також граничні умови (у формі Дирихле або Неймана) повинні бути визначені користувачем перед застосуванням функції pdesolve в обчислювальному блоці після ключового слова Given. Якщо вирішується не система рівнянь у частинних похідних, а єдине рівняння, те, відповідно, вектор і повинен містити тільки одне ім'я функції й вироджується в скаляр.

    • х -просторова координата (ім'я аргументу невідомої функції).

    • xrange - просторовий інтервал, тобто вектор значень аргументу х для граничних умов. Цей вектор повинен складатися із двох дійсних чисел (представляющих ліву й праву границю розрахункового інтервалу).

    • t - час (ім'я аргументу невідомої функції).

    • trange - розрахункова тимчасова область: вектор значень аргументу t, що повинен складатися із двох дійсних чисел (представляющих ліву й праву границю розрахункового інтервалу за часом).

    • xpts - кількість просторових крапок дискретизації (може не вказуватися явно, у такому випадку буде підібрано програмою автоматично).

    • tpts - кількість тимчасових шарів, тобто інтервалів дискретизації за часом (також може не вказуватися користувачем явно).

Крім цієї функції для рішення параболічних і гіперболічних рівнянь, починаючи з нової версії Mathcad 11, можна використати ще одну убудовану функцію numol (). Функція numol () має ще більше число аргументів і дозволяє управляти додатковими параметрами методу сіток. Однак користуватися нею набагато складніше, ніж функцією Pdesolve (), і тому в нашій книзі ми не будемо на ній особливо зупинятися.

Як приклад використання цієї нової функції Mathcad 11 (листинг 13.4) використаємо те ж саме одномірне рівняння теплопровідності (5) із граничними й початковими умовами (6) і (7).


Листинг 13.4. Рішення одномірного рівняння теплопровідності



Для коректного використання функції Pdesolve попередньо, після ключового слова Given, варто записати саме рівняння й граничні умови за допомогою логічних операторів (для їхнього уведення в Mathcad існує спеціальна панель). Зверніть увагу, що рівняння повинне містити ім'я невідомої функції u(x,t) разом з іменами аргументів (а не так, як вона записується в межах убудованої функції Pdesolve). Для ідентифікації часток похідних у межах обчислювального блоку варто використати нижні індекси, наприклад, uxx(,t) для позначення другої похідної функції й по просторовій координаті х..

Як видно з мал. 13.14, на якому зображені результати розрахунків по листингу 13.4, убудована функція з успіхом справляється з рівнянням дифузії, відшукуючи вже добре знайоме нам рішення. Помітимо, що використання убудованої функції Pdesolve пов'язане з досить громіздкими обчисленнями, які можуть віднімати істотний час.

Як Ви можете помітити, вибирати величину кроку по просторовій і тимчасовий змінним може як сам алгоритм, так і користувач (неявним образом, через число вузлів сітки). Читачеві пропонується повторити обчислення листинга 13.4 для різних комбінацій параметрів (головним чином, числа вузлів сітки), щоб перевірити, у яких випадках алгоритм убудованої функції справляється із задачею, видаючи вірне рішення, а в яких дає збій.

Приведемо ще один приклад застосування функції Pdesolve для рішення рівнянь у частинних похідних. Розглянемо одномірне хвильове рівняння, що описує, наприклад, вільні коливання струни музичного інструмента:




Рис. 13.14. Рішення рівняння дифузії тепла за допомогою убудованої функції Pdesolve (листинг 13.4)

Тут невідома функція u(x,t) описує динаміку зсуву профілю струни щодо необуреного (прямолінійного) положення, а параметр із характеризує матеріал, з якого виготовлена струна.

Як Ви бачите, рівняння (11) містить похідні другого порядку як по просторовій координаті, так і за часом. Для того щоб можна було використати убудовану функцію pdesoive, необхідно переписати хвильове рівняння у вигляді системи двох рівнянь у частинних похідних, увівши другу невідому функцію v=ut. Програма для рішення хвильового рівняння наведена в листинге 13.5, а результат - на мал. 13.15.

Листинг 13.5. Рішення хвильового рівняння.






Рис. 13.15. Рішення хвильового рівняння (листинг 13.5)



Похожие:

Лекція № Параболічні й гіперболічні рівняння у новій версії Mathcad 11 розроблювачі вперше застосували убудовану функцію pdesolve для рішення рівнянь у частинних похідних iconЛекція №4 Одне рівняння з одним невідомим Розглянемо одне алгебраїчне рівняння з одним невідомим х f(x)=0, (1) наприклад, sin(x)=0
Для рішення таких рівнянь Mathcad має убудовану функцію root, що, залежно від типу задачі, може включати або два, або чотири аргументи...
Лекція № Параболічні й гіперболічні рівняння у новій версії Mathcad 11 розроблювачі вперше застосували убудовану функцію pdesolve для рішення рівнянь у частинних похідних iconЛекція № Обчислювальні й графічні можливості Mathcad. Побудова графіків функцій
Визначити функцію в Mathcad досить просто, для цього необхідно ввести ім'я функції, у дужках її параметри й оператор присвоювання....
Лекція № Параболічні й гіперболічні рівняння у новій версії Mathcad 11 розроблювачі вперше застосували убудовану функцію pdesolve для рішення рівнянь у частинних похідних iconЛабораторна робота №2 Тема: Розв’язування рівнянь І систем рівнянь. Мета
Мета: ознайомитися з системою Mathcad 2000 pro, оволодіти основними навичками праці з системою, навчитися проводити розв’язувати...
Лекція № Параболічні й гіперболічні рівняння у новій версії Mathcad 11 розроблювачі вперше застосували убудовану функцію pdesolve для рішення рівнянь у частинних похідних iconЗавдання: запрограмувати розв`язок дифференціальних рівнянь методом Адамса
Дифференціальні рівняння являються основним типом рівнянь в реальних задачах. Хоча в деяких випадках їх можна розв`язати аналітично,...
Лекція № Параболічні й гіперболічні рівняння у новій версії Mathcad 11 розроблювачі вперше застосували убудовану функцію pdesolve для рішення рівнянь у частинних похідних iconЛекція № Робота з векторами й матрицями
Для того, щоб почати роботу з векторами й матрицями в середовищі MathCad, необхідно на панелі математичних інструментів «Математика»...
Лекція № Параболічні й гіперболічні рівняння у новій версії Mathcad 11 розроблювачі вперше застосували убудовану функцію pdesolve для рішення рівнянь у частинних похідних iconVii. Інтегральні рівняння Рівень 1
Знайти наближений розв’язок інтегрального рівняння на відрізку [0,1] з кроком 0,1 за допомогою квадратурного методу. Для апроксимації...
Лекція № Параболічні й гіперболічні рівняння у новій версії Mathcad 11 розроблювачі вперше застосували убудовану функцію pdesolve для рішення рівнянь у частинних похідних iconЗадача для 2-ух диференціальних рівнянь, тобто при. Розв'язок диференціальних рівнянь методом Тейлора
Ціль роботи: вивчити чисельні методи розв'язку диференціальних рівнянь і придбати практичні навички розв'язку подібних задач на персональних...
Лекція № Параболічні й гіперболічні рівняння у новій версії Mathcad 11 розроблювачі вперше застосували убудовану функцію pdesolve для рішення рівнянь у частинних похідних iconЛабораторна робота №1 Тема: Знайомство з системою Mathcad 2000 pro. Мета
Мета: ознайомитися з системою Mathcad 2000 pro, оволодіти основними навичками праці з системою, навчитися проводити елементарні обчислення...
Лекція № Параболічні й гіперболічні рівняння у новій версії Mathcad 11 розроблювачі вперше застосували убудовану функцію pdesolve для рішення рівнянь у частинних похідних iconЗвіт до лабораторної роботи №5 з курсу "Методи обробки даних та чисельні методи" студента 2 курсу 3 групи Горбаченка Василя Завдання На відрізку з точністю
За допомогою формальної заміни y, f(x, y) на y, f(x, y) зводимо рівняння до системи рівнянь: , 
Лекція № Параболічні й гіперболічні рівняння у новій версії Mathcad 11 розроблювачі вперше застосували убудовану функцію pdesolve для рішення рівнянь у частинних похідних iconЛекція № Тема: Сучасні засоби комп'ютерної математики. Функціональні можливості Mathcad
Велика кількість подібних розробок свідчать про значний інтерес до них в усім світі й швидкий розвиток комп'ютерних математичних...
Разместите кнопку на своём сайте:
Документы


База данных защищена авторским правом ©gua.convdocs.org 2000-2015
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Документы

Разработка сайта — Веб студия Адаманов